Come invertire una matrice

Data una matrice A quadrata e invertibile

$A = \begin{pmatrix} x_{1,1} & \ldots & x_{1,j} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{i,1} & \ldots & x_{i,j} \\ \end{pmatrix}$

la sua inversa $A - 1$ è la seguente:

$A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(A)} \begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,x_{1,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{1,j}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,x_{i,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{i,j}) \\ \end{pmatrix}^{T}$

dove la notazione

det(A)

indica il determinante di A e l'esponente T indica l'operazione di trasposizione righe/colonne;
la matrice

$\begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,x_{1,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{1,j}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,x_{i,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{i,j}) \\ \end{pmatrix}$

è la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici).
Il cofattore in posizione

i, j

è definito come:

$\mathrm{cof}(A,x_{i,j}) = (-1)^{i+j} \cdot \mathrm{det}(\mathrm{minor}(A,i,j))$

dove minor

(A, i, j)

rappresenta il minore di A che si ottiene cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima.
Il segno

( - 1) i + j

varia nel modo seguente:

$\begin{pmatrix} + & - & + & \ldots\\ - & + & - & \ldots\\ + & - & + & \ldots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

Esempi

Data invece una matrice 3 per 3 invertibile

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix}$ ,

la sua inversa è la seguente

$\frac{1}{\mathrm{det}(A)} \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix}$

dove

$\left| \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right|=\det\left( \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right).$

La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile $\begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}$

è la seguente

$\begin{pmatrix} \frac{{d}}{{a}{d} - {b}{c}} & \frac{{-b}}{{a }{d} - {b}{c}}\\ \frac{{-c}}{{a}{d} -{b}{c}} & \frac{{a}} {{a}{d} - {b}{c}} \end{pmatrix} = \frac{1}{{a}{d} - {b}{c}}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$

Metedo veloce per le 2x2:
Invertire gli elementi sulle diagonali e cambiare di segno gli elementi b e c (come in figura).
Il tutto andrà poi diviso per il det(A) che in questo caso è "ad-bc".

martedì 14 giugno 2011

Come invertire una matrice

Esempi

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